为什么井盖基本上都是圆形的？站在数学的角度告诉你

很多时候，我们走在城市的街道上，低头看路时，都会觉得为什么道路上，非机动车道上都有那么多圆溜溜的井盖。虽然这也并没有影响到太多通行，但是总觉得马路上留着这么多坑坑巴巴的痕迹总不太美观。于是善于观察的同志们便会提出一个疑问？为什么大大小小的井盖几乎都是圆的，而别的形状的井盖却很少见呢？

面试题刁钻古怪的微软

可能你们都知道这样一个看似无厘头的问题是一道经典的面试题目，据说这个问题可以从各个方面来进行回答。有的人说因为圆形井盖容易运输，且边角不容易被磕磕碰碰，这是对的，圆形相对于三角形，正方形确实有这个优点。有人说，圆形井盖在受力时，会均匀地把力分散开来，不会在某个位置聚集，从而不容易导致边缘破裂，这也是对的。还有人从哲学的高度来解释，之所以用圆形井盖比较多，那是因为本身井口就是圆形的啊，原来井盖打造成圆形是天经地义的事情啊。

但是晓然菌还是想从数学的角度来考虑这个问题。

圆形井盖

井盖是维护城市生活正常运行的重要设施，万一破碎或者被盗，对于该区域的人们来说影响都会很大，甚至会导致生命安全事故发生。防盗，现在早已不用金属材质了，真的没有多少经济上的价值了。井盖就算不被盗，那也不能直接从井口掉下去吧。没错，在数学上，大部分井盖造成圆形，就是为了不让井盖掉进井里。

井盖还是圆形居多

我们来做个试验，我们用正三角形，正方形分别来充当井盖，试验翻转一下看看能不能从井口掉下。这里要注意的是，实际上井口会比井盖稍微大一丁点，这一丁点保证了井盖可以圆润地搭在井口内。不过这大的一丁点相比于整个井盖的大小是微不足道的，于是在分析中可以忽略不计。

井口与井盖的结构关系

对于三角形井盖来说，当你准备把正三角形放入井口，我们以垂直将井盖放进去，很快就发现，在放置的过程中假如偏转一定的角度以避开那些最长的井盖边长触碰到井口，很容易，三角形井盖就穿过井口，且不会碰到井口边沿的任何位置。我们可能一时半会搞不清是哪些长度决定着是否能够落入井口，于是我们从各个角度来尝试。

三角形井盖不可行

很快我们发现根本原因是正三角形的高小于边长，也就是说h<c。

正三角形高与边长的关系

既然三角形不行，那么正方形呢？

于是我们重复上面的操作，很快我们发现，还是可以在下落的过程中让正方形完全落进井口里。不过这里的长度关系就不是上面的高与边长的关系了。

正方形同样不可行

我们在下落过程中会旋转角度，从多个方向尝试过后，我们发现是因为正方形的对角线大于其边长，也就是a>c。所以每次我们总是能够把正方形翻转角度使得它可以在对角线长度以内落进井口。

正方形边长与对角线关系

那我们换成矩形呢？其实是一样的啊，因为勾股定理存在，对角线的长度适中都会比任何一个边要长。所以矩形也可以完全不触碰井盖边缘就落进井底。

这个时候我们尝试了三角形，正方形，接下来，我们再来考察一下正五边形。有了前面两种情况的分析，我们发现，井盖是否能够落入井口的根本原因是对角线与高的长度关系。因此我们不必再做实验进行分析，我们画出正五边形来，通过理论来计算一下正五边形对角线和高的关系。

正五边形

正五边形对角线与高 的关系

通过对正五边形的考察，从一开始我们列出的等式可以发现这个问题的本质，我们发现，当边的数量越多时，对角线和高就越接近。

当高与对角线的长度差距越大时，越容易掉落井口里，因为在落下的过程中，可以翻转的角度和空间越多。当高与对角线的长度逐渐逼近时，此时在落下的过程中，翻转角度就显得不是那么容易实现了。

推广到无穷多边形时，满足条件的井盖自然是圆形的

于是，我们很自然地推广到，当边数无穷大的时候，也就是圆时，此时，高和对角线会越来越接近，到最后就分不清多边形的高和对角线了。因此我们无论怎么翻转圆形井盖，圆始终都会与井盖牢牢卡住，从而掉不进去。

那么现在问题来了，是不是只有圆形井盖落不到井口下面去？当然不是，圆形并不是能否掉落井盖的根本原因，根本原因在于那句话。

只要在翻转图形的过程中，图形宽度始终保持一致即可。

圆形在任何角度上观察，图形占据的宽度都是相同的，这样就导致了圆形在下落过程中，翻转动作以规避井口的操作无效。我们把这种性质叫作等宽性，只要我们能再找出一种满足等宽性的图形，那就可以新发明一种“井盖”了。

莱洛三角形画法

莱洛三角形滚动

你可能在某些场合见过下面这样的图形。画法也很简单，将3个等半径的圆以对称中心120度间隔相交而成的圆弧三角形，这种三角形看似胖胖憨憨，但是却有着不同寻常的性质。你用一对平行线在任何角度去测量其宽度，宽度都是一致的。这种三角形叫作莱洛三角形，这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux命名。也正是基于这个性质，莱洛三角形是井盖问题一个经典答案。

德国工程师 弗兰兹 莱洛

这个看似简单的胖三角，是最简单的等宽曲线，想象一下这个神奇的性质。在一个平面下安装几个这样的莱洛三角形作为轮子，任你移动平面，你也不会感觉到平面会有丝毫的起伏不稳。这个时候有同学又在疑问了，既然莱洛三角形任意移动宽度始终一致，那可不可以做车轮呢？答案是几乎不可以。为什么呢？

骑上莱洛三角形为轮子的自行车

虽然说莱洛三角形在任何旋转情况下，图形的宽度不会改变，然而其旋转中心点却在实时波动。想象一下，如果骑自行车用莱洛三角形做车轮，前后轮轴承的位置就是旋转中心，而这个中心总是忽高忽低，这样这个车可以骑，但是在平面上却有着骑跷跷板的感觉，仿佛感觉不是特别美好。不过有人却从这种怪异的胖三角形里得出灵感来，创造了一件伟大的发明。

滚动莱洛三角形时，平面丝毫不动

德国人菲加士·汪克尔注意到莱洛三角形在直线上翻转时，上下宽度总是一样，旋转中心是中间区域的一个小圆形。如果以莱洛三角形为转子，在这个转子中间再加上偏心轴，再构造一个特定的腔体，不就可以规避掉旋转过程中心波动问题，并且还可以使得转子持续转动下去做功了么？

转子发动机发明人 菲加士·汪克尔

然而莱洛三角形是有3个明显的角的，这3个尖角在实际加工过程中是不容易实现的，而且转子在高速转动时，必然会带来更多的磨损，因此用尖角是不可行的。于是汪克尔采用了变形了的莱洛三角形，也就是让一个圆在原先的莱洛三角形边上滚动一圈，以这个圆的最大边缘的轨迹重新构造一个改进的莱洛三角形。可以想象，若这个外围的圆相对于莱洛三角形的直径越大，最后的轨迹就将越圆滑。我们仍然可以证明这样的曲线是等宽曲线，因此用这样的圆滑莱洛三角形来作为发动机转子将更加适合。

转子发动机模型

理论上可行了，但是在实际加工制造过程中，汪克尔还要克服各种各样的问题才有可能让转子发动机成为现实。1927年，汪克尔在经过无数次试验过后，基本上解决了诸如气密性和润滑等的一系列技术问题。1967年，日本东洋公司第一次把转子发动机批量装在汽车上，后来让转子发动机大放异彩的还是执着的马自达公司，几十年来一直锲而不舍研究。马自达公司在1991年6月23日创造了历史，在当天进行的勒芒24小时耐力赛上，搭载转子引擎的马自达787B赛车以领先第二名两圈的巨大优势夺冠！

创造历史的马自达神车 787B

虽然转子发动机也有燃烧不充分，污染严重，油耗高等缺点，但是它却跟传统的活塞发动机有着巨大的不同，小小的体积可以迸发出惊人的动力。它的出现的确给人们在动力的追求上带来了耳目一新的感觉，原来发动机还可以长这样。

扫地机外形也是莱洛三角形

为什么井盖基本上都是圆形的？这个问题真的可以有千百种答案，每一种答案都可以是让人信服的。我们单纯从数学角度来出发，却引申出了如此多的经典结论，实在是出乎人们的意料。知道了井盖的原理之后，我们发现了莱洛三角形，从莱洛三角形的特点中我们提出了等宽曲线的概念，再到后面将莱洛三角形实践化造出了转子发动机。

相信井盖的科学还会一直延续下去的。